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<!DOCTYPE html>

<title>Fixpunkttheorie</title>

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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Fixpunkttheorie</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Die <b>Fixpunkttheorie</b> beschäftigt sich unter anderem mit der Existenz und der Bestimmung von <a href="Fixpunkt_(Mathematik)" title="Fixpunkt (Mathematik)">Fixpunkten</a>. Dabei gilt: Sei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"></span> eine Menge und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\colon X\to X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\colon X\to X}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1ba5a75e57f748d59da24ed0522c122db3eb9786.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.351ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\colon X\to X}" loading="lazy"></span> eine <a href="Abbildung_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Abbildung (Mathematik)">Abbildung</a>. Dann heißt ein Punkt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in X}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in X}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e580967f68f36743e894aa7944f032dda6ea01d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.15ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in X}" loading="lazy"></span> Fixpunkt der Abbildung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"></span>, falls er die <a href="Gleichung" title="Gleichung">Gleichung</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Ax=x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Ax=x}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9a50d272415e045e08e8113f97916d98f440f9a5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.501ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Ax=x}" loading="lazy"></span> erfüllt.

</p><p>Die Entwicklung der Fixpunkttheorie begann in den frühen Tagen der <a href="Topologie_(Mathematik)" title="Topologie (Mathematik)">Topologie</a> mit den Arbeiten von <a href="Henri_Poincar%C3%A9" title="Henri Poincaré">Poincaré</a>, <a href="Solomon_Lefschetz" title="Solomon Lefschetz">Lefschetz</a>, <a href="Heinz_Hopf" title="Heinz Hopf">Hopf</a>, <a href="Jean_Leray" title="Jean Leray">Leray</a> und <a href="Juliusz_Schauder" title="Juliusz Schauder">Schauder</a>.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Die Fixpunkttheorie berührt beispielsweise Probleme der <a href="Analysis" title="Analysis">Analysis</a> und <a href="Funktionalanalysis" title="Funktionalanalysis">Funktionalanalysis</a>, der <a href="Numerische_Mathematik" title="Numerische Mathematik">Numerischen Mathematik</a>, der <a href="Differentialgeometrie" title="Differentialgeometrie">Differentialgeometrie</a>, der <a href="Gruppentheorie" title="Gruppentheorie">Gruppentheorie</a>, der <a href="Logik" title="Logik">Logik</a> und der Topologie. <a href="Fixpunktsatz" title="Fixpunktsatz">Fixpunkktsätze</a> treffen Aussagen über die Existenz von Fixpunkten einer Abbildung bzw. darüber, wie die Fixpunkte bestimmt werden können.

</p><p>Fixpunkte spielen in vielen Teilen der Mathematik und Informatik eine herausragende Rolle. Beispielsweise lassen sich viele Algorithmen als Berechnungen von speziellen Fixpunkten auffassen. Auch bei der formalen Definition der Semantik von Programmiersprachen spielen Fixpunkte eine zentrale Rolle, da beispielsweise die Semantik einer Schleife mittels einer speziellen Fixpunktbildung erklärt werden kann.

<a href="Felix_Browder" title="Felix Browder">Felix Browder</a> sagte, „Die Fixpunkttheorie ist eines der mächtigsten Werkzeuge der modernen Mathematik“. Der <a href="Fixpunktsatz_von_Banach" title="Fixpunktsatz von Banach">Fixpunktsatz von Banach</a>, der <a href="Nichtexpansive_Abbildung#Fixpunktsatz_von_Browder-Göhde-Kirk" title="Nichtexpansive Abbildung">Fixpunktsatz von Browder-Göhde-Kirk</a>, der <a href="Fixpunktsatz_von_Krasnoselski" title="Fixpunktsatz von Krasnoselski">Fixpunktsatz von Krasnoselski</a> und der <a href="Fixpunktsatz_von_Schauder" title="Fixpunktsatz von Schauder">Fixpunktsatz von Schauder</a> sind zentrale Sätze der Fixpunkttheorie. Aus diesen Sätzen und ihren Verallgemeinerungen ergeben sich zentrale Aussagen der nichtlinearen Funktionalanalysis. Das <i>Journal of Fixed Point Theory and Applications</i><sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> widmet sich schwerpunktmäßig dem breiten Feld mathematischer Forschung auf dem Gebiet der Fixpunkttheorie und ihrer Anwendungen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Fixpunktsatz" title="Fixpunktsatz">Fixpunktsatz</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Eberhard_Zeidler_(Mathematiker)" title="Eberhard Zeidler (Mathematiker)">Eberhard Zeidler</a>, <i>Vorlesungen über nichtlineare Funktionalanalysis – Fixpunktsätze</i>, Teubner Verlagsgesellschaft 1976</li>

<li>S. Almezel, Q. H. Ansari, M. A. Kamsi, <i>Topics in Fixed Point Theory</i>, Springer, ISBN 978-3-319-01585-9</li>

<li>Vasile Berinde, <i>Iterative Approximation of Fixed Points</i>, 2007, Springer Berlin Heidelberg New York, ISBN 3-540-72233-5</li>

<li><a href="Charles_Chidume" title="Charles Chidume">Charles Chidume</a>, <i>Geometric Properties of Banach Spaces and Nonlinear Iterations</i>, 2009, ISBN 978-1-84882-189-7</li>

<li><a href="Billy_E._Rhoades" title="Billy E. Rhoades">B. E. Rhoades</a>, L. Saliga, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://prof.ks.ac.kr/bslee/naf/table/vol-0601/v0601-20a.PDF"><i>Some fixed point iteration procedures</i>, II</a>, 2001</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text"><span class="cite">Saleh Almezel, Qamrul Hasan Ansari, Mohamed Amine Khamsi: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-01586-6"><i>Topics in Fixed Point Theory.</i></a> In: <i>springer.com.</i> <a href="Springer_Science%2BBusiness_Media" title="Springer Science+Business Media">Springer Science+Business Media</a>, 2020,<span class="Abrufdatum"> abgerufen am 18. Januar 2021</span> (englisch).</span><span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AFixpunkttheorie&rft.title=Topics+in+Fixed+Point+Theory&rft.description=Topics+in+Fixed+Point+Theory&rft.identifier=https%3A%2F%2Flink.springer.com%2Fbook%2F10.1007%2F978-3-319-01586-6&rft.creator=Saleh+Almezel%2C+Qamrul+Hasan+Ansari%2C+Mohamed+Amine+Khamsi&rft.publisher=%5B%5BSpringer+Science%2BBusiness+Media%5D%5D&rft.date=2020&rft.language=en"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text"><span class="cite"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.springer.com/journal/11784/aims-and-scope"><i>Journal of Fixed Point Theory and Applications.</i></a> In: <i>springer.com.</i> <a href="Springer_Science%2BBusiness_Media" title="Springer Science+Business Media">Springer Science+Business Media</a>, 2007,<span class="Abrufdatum"> abgerufen am 18. Januar 2021</span> (englisch).</span><span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AFixpunkttheorie&rft.title=Journal+of+Fixed+Point+Theory+and+Applications&rft.description=Journal+of+Fixed+Point+Theory+and+Applications&rft.identifier=https%3A%2F%2Fwww.springer.com%2Fjournal%2F11784%2Faims-and-scope&rft.publisher=%5B%5BSpringer+Science%2BBusiness+Media%5D%5D&rft.date=2007&rft.language=en"> </span></span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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